BI-LA1 – Lineární algebra 1

Okruh 1 · BI-SPOL.21-11

Soustavy lineárních rovnic

Frobeniova věta a související pojmy, vlastnosti a popis množiny řešení, Gaussova eliminační metoda.

📋 Definice soustavy lineárních rovnic (SLR)

Maticový zápis SLR: Soustava m lineárních rovnic pro n neznámých se zapíše jako Ax = b, kde A ∈ T^m,n je matice soustavy, b ∈ T^m je vektor pravých stran a x ∈ Tⁿ je vektor neznámých. Těleso T je zpravidla ℝ (nebo ℚ, ℂ, ℤ_p).

Klíčové pojmy:

Matice soustavy A ∈ T^m,n — m řádků, n sloupců, prvky a_ij
Rozšířená matice soustavy (A | b) ∈ T^m,n+1 — matice A doplněná o sloupec pravých stran b
Homogenní soustava Ax = θ — pravá strana je nulový vektor
Přidružená homogenní soustava k Ax = b je soustava Ax = θ
S = množina všech řešení soustavy Ax = b
S₀ = množina všech řešení přidružené homogenní soustavy Ax = θ

⚠ Proč maticový zápis?

      Zapisujeme Ax = b, protože maticové násobení Ax přesně odpovídá levé straně soustavy rovnic — každý řádek výsledku je jedna rovnice. Tento zápis umožňuje elegantní algebraickou práci se soustavami.

🔗 Struktura množiny řešení — klíčová věta

Věta o struktuře řešení SLR: Je-li x̃ ∈ Tⁿ libovolné řešení soustavy Ax = b (tzv. partikulární řešení), pak platí: S = x̃ + S₀

Tato věta říká: celá množina řešení nehomogenní soustavy = partikulární řešení + množina řešení přidružené homogenní soustavy. To není jen hezká formule — říká nám, že stačí najít jedno řešení a popsat S₀.

Další důsledky (Věta 2.8 o vlastnostech SLR):

Nulový vektor θ je vždy řešením homogenní soustavy (S₀ ≠ ∅ vždy)
Je-li x ∈ S₀ a α ∈ T, pak αx ∈ S₀ — homogenní řešení jsou uzavřená na skalární násobení
Jsou-li x, y ∈ S₀, pak x + y ∈ S₀ — uzavřenost na sčítání
Jsou-li x, y ∈ S (obě řešení nehomogenní), pak x − y ∈ S₀

✓ Klíčový závěr

      S0 je vždy podprostor Tn. Proto lze S0 vždy popsat pomocí konečné báze — stačí najít n − h(A) lineárně nezávislých řešení homogenní soustavy.

Počet řešení (Důsledek)

      Soustava Ax = b nad T = ℝ (nebo ℚ, ℂ) má buď:
      0 řešení (soustava je neřešitelná)
1 řešení (jediné)
nekonečně mnoho řešení

      Žádný jiný případ nenastane — má-li soustava alespoň dvě řešení, má jich nekonečně mnoho (nad nekonečným tělesem).
    

📏 Hodnost matice

Hodnost matice A (ozn. h(A) nebo rank(A)) je dimenze lineárního obalu řádků matice A, neboli dimenze lineárního obalu sloupců matice A. Platí h(A) = h(A^T).

Hodnost lze jednoduše spočítat pomocí GEM:

✓ Věta: hodnost matice v HST

      Je-li matice A v horním stupňovitém tvaru, pak h(A) = počet nenulových řádků = počet hlavních sloupců.

Proto postup výpočtu hodnosti libovolné matice A:

Převeď A do HST pomocí GEM (GEM nemění hodnost)
Spočítej nenulové řádky — to je h(A)

Důležité vlastnosti:

h(A) ≤ min{m, n} pro A ∈ T^m,n
h(A) = h(A^T) — hodnost se nemění transpozicí
Násobení regulární maticí hodnost nemění
h(AB) ≤ min{h(A), h(B)}

🪜 Horní stupňovitý tvar (HST)

Matice D ∈ T^m,n je v horním stupňovitém tvaru (HST), pokud platí:

Nulové řádky jsou pouze v dolní části matice
V každém nenulovém řádku je první nenulový prvek (tzv. pivotní prvek) vždy ve sloupci napravo od pivotního prvku řádku předchozího: j₁ < j₂ < ... < j_k

Sloupce s indexy j₁, ..., j_k (kde se nachází pivotní prvky) jsou hlavní sloupce, ostatní jsou vedlejší sloupce.

Příklad matice v HST (■ = pivotní prvek ≠ 0, * = libovolné číslo, 0 = nula):

⎡ 0 ■ * * * ⎤ ⎢ 0 0 0 ■ * ⎥ ⎢ 0 0 0 0 ■ ⎥ ⎣ 0 0 0 0 0 ⎦

Věta o řešitelnosti soustavy v HST

      Je-li soustava Ax = b v HST, pak:
      Žádné řešení: poslední sloupec (A|b) je hlavní (tj. objeví se řádek 0 = c kde c ≠ 0)
Jediné řešení: poslední sloupec (A|b) je jediný vedlejší sloupec
Nekonečně řešení: poslední sloupec (A|b) je vedlejší a existuje ještě jiný vedlejší sloupec

⚙️ Gaussova eliminační metoda (GEM)

GEM je algoritmus, který převede libovolnou matici (resp. rozšířenou matici soustavy) do horního stupňovitého tvaru pomocí tří typů řádkových operací, které nemění množinu řešení soustavy.

Povolené operace GEM (elementární řádkové operace):

(G1) Prohození dvou řádků: ř_i ↔ ř_j
(G2) Vynásobení jednoho řádku nenulovým číslem α: ř_i → α · ř_i
(G3) Přičtení α-násobku jednoho řádku k jinému: ř_k → ř_k + α · ř_ℓ

⚠ Proč smíme tyto operace provádět?

      Každá z operací (G1)–(G3) odpovídá maticovému násobení zleva regulární maticí P. Regulární matice nemění množinu řešení (soustava Ax = b a PAx = Pb mají stejná řešení). Každá z P(i,j), Pi(α), Qi,j(α) je regulární a její inverze je opět tohoto typu.

Algoritmus GEM krok za krokem:

Procházíme sloupce zleva doprava, řádky shora dolů. Pokud je aktuální sloupec (od aktuálního řádku dolů) samé nuly, přeskočíme jej (vedlejší sloupec).
Pokud je na aktuální pozici (k, ℓ) nula, ale níže ne, prohodíme řádky (G1) tak, aby byl nenulový prvek nahoře.
Odečteme vhodné násobky aktuálního řádku od všech řádků pod ním (G3), abychom vynulovali celý sloupec pod aktuálním pivotem.
Posuneme se na (k+1, ℓ+1) a opakujeme.

Výsledkem je matice v HST, ze které snadno určíme řešitelnost a také samotná řešení.

✓ Praktický tip

      Při GEM se nemusíme striktně držet algoritmu — (G2) nám dovoluje "hezčí čísla" (např. vydělit celý řádek tak, aby byl pivot 1). Vyplatí se myslet pár tahů dopředu.

Příklad GEM (soustava nad ℝ):

(A|b) = ⎡ 1 3 2 | 6 ⎤ →GEM→ ⎡ 1 3 2 | 6 ⎤ ⎢ 2 8 5 | 3 ⎥ ⎢ 0 2 1 | ? ⎥ ⎣ 3 9 6 | 2 ⎦ ⎣ 0 0 0 | ? ⎦

🔀 Vázané a volné proměnné — kompletní řešení

Jakmile máme soustavu v HST, rozdělíme proměnné na:

Vázané proměnné — odpovídají hlavním sloupcům matice A. Jejich hodnoty jsou jednoznačně dány (zpětnou substitucí), jakmile zvolíme volné proměnné.
Volné proměnné — odpovídají vedlejším sloupcům matice A (ne (A|b)). Lze je volit libovolně z T. Jejich počet = n − h(A).

Postup nalezení všech řešení homogenní soustavy Ax = θ:

GEM → HST (hodnost h)
Identifikuj volné proměnné: je jich n − h
Pro každý bazický vektor standardní báze T^n−h (např. postupně (1,0,...,0), (0,1,...,0) atd.) dosad za volné proměnné a zpětnou substitucí dopočítej vázané proměnné
Takto získáš n − h lineárně nezávislých vektorů — to je báze S₀

Dimenze S₀

      Z Frobeniovy věty: dim S0 = n − h(A). Počet volných proměnných = dim S0.

Postup nalezení partikulárního řešení x̃ soustavy Ax = b:

Všem volným proměnným přiřaď hodnotu 0
Zpětnou substitucí dopočítej vázané proměnné
Výsledek je partikulární řešení x̃

Celá množina řešení: S = x̃ + S₀ = {x̃ + z : z ∈ S₀}

🏛️ Frobeniova věta — ústřední výsledek

Věta 5.1 (Frobeniova): Nechť A ∈ T^m,n a b ∈ T^m. Uvažujme soustavu Ax = b. Pak:

Soustava je řešitelná (S ≠ ∅) právě tehdy, když h(A) = h(A | b)
Je-li h(A) = h(A|b) a x̃ je libovolné řešení, pak S = x̃ + S₀
Množina řešení homogenní soustavy S₀ je podprostor dimenze n − h(A)

Proč platí bod 1 — intuice: soustava Ax = b je řešitelná právě tehdy, když b leží v lineárním obalu sloupců matice A. To nastane přesně tehdy, když přidání sloupce b k matici A nezvýší hodnost, tj. h(A) = h(A|b).

⚠ Nejčastější chyba

      Při výpočtu je nutné porovnat hodnost samotné matice A s hodností rozšířené matice (A|b). Pokud h(A) < h(A|b), soustava nemá řešení — to se projeví tím, že při GEM vznikne řádek tvaru (0 0 ... 0 | c) kde c ≠ 0.

Podmínka	Počet řešení	Popis
h(A) ≠ h(A\|b)	0 (žádné)	Soustava neřešitelná, v HST se objeví řádek "0 = c" kde c ≠ 0
h(A) = h(A\|b) = n	1 (jediné)	Všechny sloupce A jsou hlavní, S₀ = {θ}, S = {x̃}
h(A) = h(A\|b) < n	∞ (nekonečně)	Existují vedlejší sloupce v A, dim S₀ = n − h(A) ≥ 1

Příklad interpretace: soustava 3 rovnic pro 5 neznámých, h(A) = 2, h(A|b) = 2. Pak soustava má řešení (h(A) = h(A|b)) a dim S₀ = 5 − 2 = 3, tj. existují 3 volné proměnné.

✓ Geometrická interpretace

      Množina řešení S je vždy buď prázdná (∅), nebo lineární varieta — posunutý podprostor tvaru x̃ + S0. V ℝ² to může být bod, přímka, celá rovina. V ℝ³ bod, přímka, rovina, celý prostor.

🧮 Kompletní postup řešení SLR — co dělat u zkoušky

Zapište rozšířenou matici soustavy (A | b)
Proveďte GEM na (A | b) → dostanete (A' | b') v HST
Zkontrolujte řešitelnost: je-li poslední sloupec (b') hlavní, soustava nemá řešení. Jinak pokračujte.
Určete hodnosti: h(A) = počet nenulových řádků v A' (bez pravé strany)
Identifikujte volné proměnné (vedlejší sloupce matice A')
Najděte partikulární řešení x̃: volné proměnné = 0, zpětnou substitucí zjistěte vázané
Najděte bázi S₀: pro každou volnou proměnnou postupně položte ji = 1, ostatní volné = 0, zpětnou substitucí zjistěte vázané → vznikne bazický vektor z_i
Zapište výsledek: S = x̃ + ⟨z₁, z₂, ..., z_n−h⟩

Zápis řešení

      Celé řešení se standardně zapisuje jako:
x = x̃ + t1z1 + t2z2 + ... + tn−hzn−h

      kde t1, ..., tn−h ∈ T jsou libovolné parametry.

📝 Shrnutí okruhu 1

SLR zapisujeme maticově jako Ax = b; rozšířená matice (A|b) nese veškerou informaci o soustavě
GEM (operace G1–G3) převede (A|b) do HST a nemění množinu řešení; hodnost matice se také nemění
Soustava je řešitelná právě když h(A) = h(A|b) (Frobeniova věta, bod 1)
Celá množina řešení S = x̃ + S₀, kde S₀ je podprostor dimenze n − h(A)
Počet volných proměnných = dim S₀ = n − h(A); volné proměnné odpovídají vedlejším sloupcům matice A

🎓 Kontrolní otázky ke státnicím

Co říká Frobeniova věta?

Frobeniova věta říká tři věci: (1) soustava Ax = b je řešitelná právě tehdy, když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti rozšířené matice, h(A) = h(A|b); (2) je-li soustava řešitelná a x̃ je partikulární řešení, pak celá množina řešení je S = x̃ + S₀; (3) množina řešení přidružené homogenní soustavy S₀ je podprostor dimenze n − h(A).

Jak víme z HST, kolik má soustava řešení?

Z HST rozšířené matice: (1) je-li poslední sloupec hlavní (= existuje řádek 0 0...0 | c kde c ≠ 0), soustava nemá řešení; (2) je-li poslední sloupec jediný vedlejší, má soustava jediné řešení; (3) je-li posledních sloupec vedlejší a existuje ještě jiný vedlejší sloupec v části matice A, má soustava nekonečně mnoho řešení.

Jaké jsou tři operace GEM a proč smíme je provádět?

Operace jsou: (G1) prohození dvou řádků, (G2) vynásobení řádku nenulovým číslem, (G3) přičtení násobku jednoho řádku k jinému. Smíme je provádět, protože každá z nich odpovídá násobení rozšířené matice zleva regulární maticí P. Soustava PAx = Pb má přitom stejnou množinu řešení jako Ax = b.

Co jsou vázané a volné proměnné? Jaký je vztah k hodnosti?

Po GEM jsou vázané proměnné ty, které odpovídají hlavním sloupcům matice A (ne A|b) — jsou jednoznačně dány volnými proměnnými. Volné proměnné odpovídají vedlejším sloupcům A — lze je volit libovolně. Počet volných proměnných = n − h(A) = dim S₀.

Proč je S₀ podprostor?

Protože S₀ splňuje tři podmínky podprostoru: (1) θ ∈ S₀ (nulový vektor vždy řeší Ax = θ); (2) je-li x ∈ S₀ a α ∈ T, pak αx ∈ S₀ (A(αx) = α(Ax) = αθ = θ); (3) jsou-li x,y ∈ S₀, pak x+y ∈ S₀ (A(x+y) = Ax + Ay = θ + θ = θ).

Jak popíšete geometricky množinu řešení SLR?

Množina řešení je buď prázdná, nebo lineární varieta — posunutý podprostor tvaru x̃ + S₀. V ℝⁿ to je afinní podprostor dimenze n − h(A): bod (dim 0), přímka (dim 1), rovina (dim 2), atd.

Okruh 2 · BI-SPOL.21-12

Matice: součin, regularita, inverze, vlastní čísla a diagonalizace

Součin matic, regulární matice, inverzní matice a její výpočet, vlastní čísla matice a jejich výpočet, diagonalizace matice.

✖️ Součin matic — definice a vlastnosti

Součin matic A · B: Pro A ∈ T^m,n a B ∈ T^n,p je součin A · B ∈ T^m,p, kde (AB)_ij = Σ_k=1ⁿ a_ik b_kj. Výsledný prvek i-tého řádku a j-tého sloupce = skalární součin i-tého řádku A s j-tým sloupcem B.

Kritická podmínka: počet sloupců první matice musí rovnat počtu řádků druhé matice.

Důležité vlastnosti součinu matic:

Asociativita: A(BC) = (AB)C — vždy platí (pro kompatibilní rozměry)
Distributivita: A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC + BC
Transpozice součinu: (AB)^T = B^TA^T — pořadí se obrací!
Komutativita NEPLATÍ: obecně AB ≠ BA

⚠ Nekomutativita

      Maticové násobení není obecně komutativní! BA může být nedefinované (různé rozměry), nebo definované ale jiné, nebo dokonce i pro čtvercové matice A, B ∈ ℝn,n platí AB ≠ BA.

Příklad:

A = ⎡1 2⎤, B = ⎡1 0⎤ → AB = ⎡3 1⎤, BA = ⎡1 2⎤ ⎣0 1⎦ ⎣1 1⎦ ⎣1 1⎦ ⎣1 3⎦ (≠ AB)

✓ Klíčová interpretace — vztah součinu a lineárních kombinací
Ab (matice × vektor) = lineární kombinace sloupců A s koeficienty z b
aA (řádek × matice) = lineární kombinace řádků A s koeficienty z a
Hledání řešení Ax = b = hledání koeficientů lin. kombinace sloupců A rovné b

🔲 Jednotková matice a diagonální matice

Jednotková matice E_n (nebo I) ∈ T^n,n: e_ij = 1 pro i = j, e_ij = 0 pro i ≠ j. Je neutrálním prvkem násobení: AE = EA = A pro libovolnou čtvercovou matici A.

Diagonální matice: čtvercová matice, kde všechny prvky mimo diagonálu jsou nulové. Jednotková matice je speciálním případem diagonální matice.

🔄 Regulární matice a inverzní matice

Inverzní matice k A: Matice B ∈ T^n,n je inverzní k A ∈ T^n,n, pokud AB = BA = E. Značíme B = A⁻¹.

Regulární matice: čtvercová matice A ∈ T^n,n, ke které existuje inverzní matice. Pokud inverze neexistuje, nazývá se A singulární.

Klíčové vlastnosti:

Jednoznačnost inverze (Věta 4.7): Je-li A regulární, inverzní matice je jediná
(A⁻¹)⁻¹ = A — inverze inverze vrátí původní matici
(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ — inverze součinu (pořadí se obrací)
(A^T)⁻¹ = (A⁻¹)^T — transpozice regulární matice je regulární
Součin regulárních matic je regulární

Ekvivalentní podmínky regularity matice A ∈ Tn,n

      Následující podmínky jsou vzájemně ekvivalentní (Věta 4.10):
      A je regulární
h(A) = n (hodnost je maximální)
A ~ E (lze GEMem převést na jednotkovou matici)
Řádky matice A tvoří lineárně nezávislý soubor
Sloupce matice A tvoří lineárně nezávislý soubor
Soustava Ax = b má pro každé b právě jedno řešení
Soustava Ax = θ má jediné řešení θ
det(A) ≠ 0

⚠ Regularita a hodnost

      Matice A je regulární právě tehdy, když h(A) = n. Proto singulární matice má h(A) < n — v HST se objeví alespoň jeden nulový řádek. Singulární matice nemá inverzní matici.

Je-li matice soustavy A regulární, pak soustava Ax = b má pro každé b jediné řešení x = A⁻¹b.

🔧 Výpočet inverzní matice pomocí GEM

Gaussova–Jordanova eliminace: Pokračujeme v GEM i po dosažení HST — vynulujeme i prvky nad pivoty (eliminujeme "nahoru") a normalizujeme pivoty na 1. Výsledkem je jednotková matice.

Algoritmus (Postup 4.1):

Sestavte rozšířenou matici (A | E), kde E je jednotková matice n-tého řádu
Provádějte GEM na celé (A | E) — operace působí zároveň na levý i pravý blok
Pokud při převodu levé části na HST vznikne nulový řádek → A je singulární, inverze neexistuje
Je-li A regulární, pokračujte Gaussovou–Jordanovou eliminací dokud levý blok není E
V pravém bloku je výsledná matice A⁻¹: (A | E) ~ (E | A⁻¹)

Proč to funguje? Každý krok GEM odpovídá násobení zleva regulární maticí P_i. Celý postup aplikuje P = P_k···P₁ na A, dostaneme PA = E. Na pravý blok E se aplikuje totéž: PE = P = A⁻¹.

Příklad (Z₇^3,3):

⎡1 3 2 | 1 0 0⎤ GEM ⎡1 0 0 | 2 0 2⎤ ⎢2 3 1 | 0 1 0⎥ ~~~~> ⎢0 1 0 | 0 3 5⎥ ⎣3 4 5 | 0 0 1⎦ ⎣0 0 1 | 3 6 2⎦ Inverzní matice: A⁻¹ = ⎡2 0 2⎤ ⎢0 3 5⎥ ⎣3 6 2⎦

🌀 Vlastní čísla a vlastní vektory — definice a smysl

Vlastní číslo a vlastní vektor: Číslo λ ∈ ℂ je vlastním číslem matice A ∈ ℂ^n,n, právě když existuje nenulový vektor x ∈ ℂⁿ splňující Ax = λx. Takový vektor x je vlastní vektor příslušející λ.

Spektrum matice σ(A): množina všech vlastních čísel matice A.

Geometrická interpretace: matice A "natáhne" (nebo "otočí") každý vektor, ale vlastní vektory natáhne přesně λ-krát — zůstávají ve stejném směru (nebo se otočí o 180°, je-li λ záporné reálné).

❌ Pozor: vlastní vektor musí být nenulový!

      Podmínka x ≠ θ je ZÁSADNÍ. Bez ní by Aθ = λθ platilo pro libovolné λ a pojem vlastního čísla by byl zcela triviální.

Proč pracujeme s ℂ? I matice s reálnými prvky mohou mít komplexní vlastní čísla (např. rotace). Základní věta algebry garantuje, že každý komplexní polynom stupně n má právě n kořenů (s násobnostmi) — proto každá matice A ∈ ℂ^n,n má vždy alespoň jedno vlastní číslo.

Vlastní podprostor k λ: ker(A − λE) = množina všech řešení homogenní soustavy (A − λE)x = θ. Je to podprostor ℂⁿ obsahující všechny vlastní vektory příslušné λ plus nulový vektor.

📊 Charakteristický polynom — výpočet vlastních čísel

Charakteristický polynom matice A ∈ ℂ^n,n: p_A(λ) = det(A − λE). Je to polynom stupně n v proměnné λ.

Klíčová věta: λ ∈ ℂ je vlastní číslo matice A právě tehdy, když p_A(λ) = 0, tedy λ je kořenem charakteristického polynomu.

Proč? Vlastní číslo λ existuje ⟺ existuje nenulový x s Ax = λx ⟺ (A − λE)x = θ má nenulové řešení ⟺ A − λE je singulární ⟺ det(A − λE) = 0.

Postup výpočtu vlastních čísel:

Sestavte matici A − λE (od diagonály odečteme λ)
Spočítejte determinant det(A − λE) — výsledkem je polynom stupně n v λ
Najděte kořeny polynomu p_A(λ) = 0 — to jsou vlastní čísla

Příklad pro 2×2 matici:

A = ⎡a b⎤ → A − λE = ⎡a−λ b ⎤ ⎣c d⎦ ⎣ c d−λ⎦ p_A(λ) = det(A − λE) = (a−λ)(d−λ) − bc = λ² − (a+d)λ + (ad−bc) Vlastní čísla: kořeny λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0

Vlastnosti charakteristického polynomu
Stupeň = n (stejně jako rozměr matice)
Součet vlastních čísel (s násobnostmi) = tr(A) (stopa = součet diagonálních prvků)
Součin vlastních čísel (s násobnostmi) = det(A)
Charakteristický polynom podobných matic je stejný!

🔢 Algebraická a geometrická násobnost vlastních čísel

Algebraická násobnost ν_a(λ): násobnost λ jako kořenu charakteristického polynomu p_A.

Geometrická násobnost ν_g(λ): dimenze vlastního podprostoru ker(A − λE) = dim(řešení (A − λE)x = θ) = n − h(A − λE).

Věta 7.2 — Vztah násobností

      Pro každé vlastní číslo λ matice A ∈ ℂn,n platí: 1 ≤ νg(λ) ≤ νa(λ) ≤ n

Interpretace:

ν_a(λ) = 1 ⟹ nutně ν_g(λ) = 1 (jednoduché vlastní číslo)
ν_a(λ) ≥ 2: může nastat ν_g(λ) = ν_a(λ) nebo ν_g(λ) < ν_a(λ) — toto určuje, zda je matice diagonalizovatelná!

Matice	λ	ν_a(λ)	ν_g(λ)	Diagonalizovatelná?
A = 2E (škálování)	2	2	2	Ano
B = [[2,1],[0,2]] (zkosení)	2	2	1	Ne

Postup výpočtu vlastních vektorů pro dané vlastní číslo λ:

Sestavte matici A − λE
GEMem převeďte (A − λE | θ) do HST
Dimenze prostoru řešení = ν_g(λ) = n − h(A − λE)
Nalezněte bázi tohoto prostoru (jako bázi S₀ homogenní soustavy)

✓ Lemma o LN vlastních vektorů

      Vlastní vektory příslušející navzájem různým vlastním číslům jsou lineárně nezávislé. Tedy n různých vlastních čísel ⟹ n LN vlastních vektorů ⟹ matice je diagonalizovatelná.

🔗 Podobné matice

Podobné matice: Matice A, B ∈ ℂ^n,n jsou podobné, pokud existuje regulární matice P ∈ ℂ^n,n taková, že A = P⁻¹BP (ekvivalentně: PA = BP).

Podobnost je relace ekvivalence (reflexivní, symetrická, tranzitivní).

✓ Invarianty podobnosti — co se nemění

      Jsou-li A a B podobné, pak mají:
      Stejný charakteristický polynom pA = pB
Stejné spektrum σ(A) = σ(B)
Stejné algebraické i geometrické násobnosti všech vlastních čísel
Stejný determinant a stejnou stopu

Pozor: shodné spektrum a násobnosti nestačí k tomu, aby matice byly podobné! Existují matice se stejným charakteristickým polynomem a násobnostmi, které podobné nejsou (různé Jordanovy normální formy).

◼️ Diagonalizace matice

Diagonalizovatelná matice: Matice A ∈ ℂ^n,n je diagonalizovatelná, je-li podobná nějaké diagonální matici D. Tj. existuje regulární P taková, že D = P⁻¹AP.

Věta 7.9 — Nutná a postačující podmínka diagonalizovatelnosti

      Matice A ∈ ℂn,n je diagonalizovatelná, právě tehdy pokud jsou splněny (ekvivalentní) podmínky:
      Součet geometrických násobností všech vlastních čísel je n: Σ νg(λ) = n
Existuje báze ℂn sestávající pouze z vlastních vektorů A
Pro každé λ ∈ σ(A) platí νg(λ) = νa(λ)

✓ Jednoduché postačující podmínky
Má-li A n navzájem různých vlastních čísel (každé má νa = 1), pak A je diagonalizovatelná
Je-li A symetrická reálná matice, je diagonalizovatelná (nad ℝ)

Algoritmus diagonalizace (Poznámka 7.5):

Spočítej charakteristický polynom p_A(λ) = det(A − λE)
Najdi vlastní čísla λ₁, ..., λ_k (kořeny p_A) a jejich algebraické násobnosti ν_a(λ_i)
Pro každé λ_i řeš soustavu (A − λ_iE)x = θ a najdi bázi vlastního podprostoru → tím zjistíš ν_g(λ_i)
Ověř diagonalizovatelnost: pro každé λ_i musí platit ν_g(λ_i) = ν_a(λ_i)
Sestroj matici P: sloupce P jsou právě vlastní vektory (řazeny podle příslušných λ)
Diagonální matice D má na diagonále příslušná vlastní čísla ve stejném pořadí

Výsledek: D = P⁻¹AP, kde D je diagonální a A = PDP⁻¹.

✓ Aplikace: výpočet mocnin matice

      Je-li A = PDP−1, pak Ak = PDkP−1. Mocnina diagonální matice D se spočítá triviálně — stačí umocnit každý diagonální prvek (každé vlastní číslo).

Příklad diagonalizace:

A = ⎡−6 −10 34⎤ ⎢ 18 22 −64⎥ ⎣ 3 5 −17⎦ p_A(λ) = −λ(λ+3)(λ−2) → vlastní čísla: λ₁=0, λ₂=−3, λ₃=2 (každé má ν_a = 1 → A je diagonalizovatelná) Vlastní vektory: x₁=(9,−19,−4), x₂=(2,−4,−1), x₃=(2,−5,−1) P = ⎡ 9 2 2⎤ D = ⎡0 0 0⎤ ⎢−19 −4 −5⎥ ⎢0 −3 0⎥ ⎣ −4 −1 −1⎦ ⎣0 0 2⎦ Platí: D = P⁻¹AP

📐 Příklady a výpočetní postupy

Postup výpočtu vlastních čísel (souhrn):

Postup 7.1 + 7.2 — od matice k vlastním vektorům
Charakteristický polynom: pA(λ) = det(A − λE)
Vlastní čísla: kořeny pA(λ) = 0; jejich násobnost jako kořenu = νa(λ)
Vlastní vektory: pro každé λ řeš (A − λE)x = θ; νg(λ) = dim(ker(A − λE))
Báze vlastního podprostoru: použij GEM jako při řešení homogenní SLR

Příklad 3×3 matice:

A = ⎡1 −1 1⎤ ⎢2 0 −2⎥ ⎣3 −1 −1⎦ p_A(λ) = det(A−λE) = λ(λ+2)(λ−2) → σ(A) = {−2, 0, 2} Pro λ = −2: (A+2E)x = θ → vlastní podprostor = ⟨(0,1,1)⟩, ν_g(−2) = 1 Pro λ = 0: Ax = θ → vlastní podprostor = ⟨(1,2,1)⟩, ν_g(0) = 1 Pro λ = 2: (A−2E)x = θ → vlastní podprostor = ⟨(1,0,1)⟩, ν_g(2) = 1 Všechna ν_a = ν_g = 1 → matice diagonalizovatelná

Příklad kdy matice není diagonalizovatelná:

A = ⎡1 0 0⎤ ⎢0 3 1⎥ ⎣0 0 3⎦ p_A(λ) = (1−λ)(3−λ)² → λ₁=1 s ν_a=1, λ₂=3 s ν_a=2 Pro λ₂=3: (A−3E)x = θ → ν_g(3) = 1 ≠ ν_a(3) = 2 Tedy matice NENÍ diagonalizovatelná.

🔬 Maticová interpretace GEM — propojení pojmů

Každý krok GEM lze realizovat násobením zleva regulární maticí:

(G1) P(i,j): prohození řádků → P(i,j) je sama sobě inverzní: P(i,j)⁻¹ = P(i,j)
(G2) P_i(α): násobení α ≠ 0 → inverzní je P_i(α⁻¹)
(G3) Q_i,j(α): přičtení násobku → inverzní je Q_i,j(−α)

Celá GEM = násobení zleva regulární maticí P (složením elementárních matic). Tedy A ~ B ⟺ existuje regulární P: B = PA.

✓ Propojení GEM, regularity a invertibility

      Matice A je regulární ⟺ GEMem ji lze převést na jednotkovou matici E. Proto: GEM na (A|E) nám dá jak regulárnost otestovat, tak i spočítat A−1.

📝 Shrnutí okruhu 2

Maticové násobení je asociativní ale obecně nekomutativní; (AB)^T = B^TA^T
Matice je regulární právě tehdy, když h(A) = n; inverzní matici počítáme GEM na (A|E) → (E|A⁻¹)
Vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu det(A − λE) = 0; každá matice ∈ ℂ^n,n má vlastní číslo
Pro každé vlastní číslo: 1 ≤ ν_g(λ) ≤ ν_a(λ) ≤ n; vlastní vektory příslušné různým λ jsou LN
Matice A je diagonalizovatelná ⟺ Σ ν_g(λ) = n ⟺ ν_g(λ) = ν_a(λ) pro všechna λ ∈ σ(A)

🎓 Kontrolní otázky ke státnicím

Je maticové násobení komutativní? Proč?

Ne. Obecně AB ≠ BA ani pro čtvercové matice stejného rozměru. Komutativita selhává protože pořadí řádkových resp. sloupcových kombinací je jiné. Speciální případ: AB = BA platí vždy, pokud je jedna z matic skalárním násobkem E (nebo obě jsou diagonální ve stejné bázi). Dá se ukázat konkrétními protipříklady — viz Příklad 2.5 v učebnici.

Co je regulární matice a jak ji poznám?

Regulární matice je čtvercová matice, ke které existuje inverzní matice A⁻¹ splňující AA⁻¹ = A⁻¹A = E. Ekvivalentně: h(A) = n, nebo det(A) ≠ 0, nebo GEMem ji lze převést na E. Matice je singulární (neregulární), pokud h(A) < n — tj. GEM dá nulový řádek.

Jak se počítá inverzní matice?

Gaussovou–Jordanovou eliminací: sestavíme (A|E), GEMem upravujeme celou matici. Pokud se levý blok podaří převést na E, v pravém bloku dostaneme A⁻¹. Klíčová myšlenka: GEM = násobení zleva P; výsledkem je PA = E, tedy P = A⁻¹; to samé P aplikujeme i na pravý blok E → PE = A⁻¹.

Co jsou vlastní čísla a jak je spočítám?

Číslo λ je vlastní číslo A, pokud existuje nenulový vektor x s Ax = λx. Počítám: (1) sestavím charakteristický polynom p_A(λ) = det(A − λE); (2) najdu kořeny polynomu — to jsou vlastní čísla; (3) pro každé λ řeším (A − λE)x = θ a dostanu vlastní vektory.

Co je diagonalizace matice a za jakých podmínek ji lze provést?

Diagonalizace = nalezení regulární matice P takové, že D = P⁻¹AP je diagonální. Matice A je diagonalizovatelná tehdy, pokud pro každé vlastní číslo λ platí ν_g(λ) = ν_a(λ), nebo ekvivalentně součet všech geometrických násobností je n. Postup: vlastní vektory příslušné každému λ tvoří sloupce P; na diagonále D jsou odpovídající vlastní čísla.

Jaký je rozdíl mezi algebraickou a geometrickou násobností vlastního čísla?

Algebraická násobnost ν_a(λ) = násobnost λ jako kořenu charakteristického polynomu. Geometrická násobnost ν_g(λ) = dimenze vlastního podprostoru ker(A − λE) = počet LN vlastních vektorů. Vždy platí 1 ≤ ν_g(λ) ≤ ν_a(λ). Je-li ν_g < ν_a pro nějaké λ, matice není diagonalizovatelná.

Proč se vlastní čísla a vektory hledají nad ℂ a ne jen nad ℝ?

Protože i reálná matice může mít komplexní vlastní čísla (příklad: rotace o 90°, matice [[0,−1],[1,0]], která má vlastní čísla ±i). Teprve nad ℂ garantuje základní věta algebry, že každý polynom stupně n má n kořenů (s násobnostmi), tedy každá matice má vlastní číslo.

Co platí pro vlastní čísla podobných matic?

Podobné matice mají stejný charakteristický polynom, tedy stejné spektrum a stejné algebraické i geometrické násobnosti vlastních čísel. Proto: pokud mají matice různá spektra nebo různé násobnosti, nejsou podobné.