Integrální počet funkce jedné proměnné
Neurčitý integrál, Riemannův určitý integrál, metody integrace (per partes, substituce), číselné řady a jejich konvergence, asymptotické odhady pomocí integrálu.
∫ Primitivní funkce a neurčitý integrál
Proč „+ C"? Pokud jsou F a G obě primitivní k f na (a,b), pak (F−G)' = 0, tedy F−G je konstanta. Všechny primitivní funkce se liší jen o aditivní konstantu.
Kdy primitivní funkce existuje? Pokud f je spojitá na (a,b), pak primitivní funkce existuje (věta o existenci). Pozor: existenci to garantuje, ale explicitní vzorec najít nemusíme (např. ∫e^(−x²)dx nelze vyjádřit elementárně).
Linearita integrálu:
- ∫(f + g)dx = ∫f dx + ∫g dx
- ∫(α·f)dx = α·∫f dx
| Funkce f(x) | Primitivní funkce F(x) | Podmínka |
|---|---|---|
| xⁿ (n∈ℕ₀) | xⁿ⁺¹/(n+1) | x∈ℝ |
| xⁿ (n≤−2, n∈ℤ) | xⁿ⁺¹/(n+1) | x≠0 |
| 1/x | ln|x| | x≠0 |
| aˣ (a>0, a≠1) | aˣ/ln(a) | x∈ℝ |
| sin(x) | −cos(x) | x∈ℝ |
| cos(x) | sin(x) | x∈ℝ |
| 1/cos²(x) | tg(x) | x≠π/2 + kπ |
| 1/sin²(x) | −cotg(x) | x≠kπ |
| 1/√(1−x²) | arcsin(x) | x∈(−1,1) |
| 1/(1+x²) | arctg(x) | x∈ℝ |
Pokud F je primitivní k f, pak primitivní funkcí k f(αx+β) je (1/α)·F(αx+β). Plyne z věty o derivaci složené funkce. Příklad: ∫sin(3x+2)dx = −(1/3)cos(3x+2) + C
Protože (ln φ(x))' = φ'(x)/φ(x), platí: ∫φ'(x)/φ(x) dx = ln|φ(x)| + C. Příklady: ∫2x/(1+x²)dx = ln(1+x²)+C, ∫sin(x)/(2+cos(x))dx = −ln|2+cos(x)|+C
✏️ Metoda per partes (integrace po částech)
Proč to funguje? Z derivace součinu: (f·G)' = f'·G + f·G' = f'·G + f·g. Tedy ∫f·g dx = f·G − ∫f'·G dx.
Volba f a g: Vybíráme tak, aby nový integrál ∫f'·G byl jednodušší než původní. Typicky:
f = ln, arctg, arcsin(derivujeme je, protože derivace zjednodušuje)g = xⁿ, eˣ, sin, cos(integrujeme je)
- ∫x·sin(x)dx: f=x, G=−cos(x) → x·(−cos x) − ∫1·(−cos x)dx = −x cos x + sin x + C
- ∫x²eˣdx: Per partes 2×: x²eˣ − 2xeˣ + 2eˣ + C = (x²−2x+2)eˣ + C
- ∫arctan(x)dx: Píšeme jako ∫1·arctan(x)dx → x·arctan(x) − ∫x/(1+x²)dx = x·arctg x − ½·ln(1+x²) + C
- ∫ln(x)dx: f=ln(x), g=1 → x·ln(x) − ∫x·(1/x)dx = x·ln(x) − x + C
Někdy po per partes dostaneme původní integrál zpět: ∫fg dx = h(x) + α·∫fg dx. Pokud α≠1, pak ∫fg dx = h(x)/(1−α) + C. Příklad: ∫eˣcos(x)dx.
🔄 Metoda substituce
Princip: Substituce vychází z věty o derivaci složené funkce. „Odhalíme" v integrandem derivaci vnější funkce a smrskne to na jednodušší integrál.
- ∫(1/x²)sin(1/x)dx: y=1/x, dy=−1/x²dx → ∫(−sin y)dy = cos(1/x)+C
- ∫dx/((1+√x)√x): y=√x → ∫2/(1+y²)dy = 2·arctg(√x)+C
- ∫dx/√(1−x²): x=sin(t) → ∫1 dt = arcsin(x)+C
- ∫dx/√(1+x²): x=sinh(t) → ln(x+√(x²+1))+C
- ∫tg(x)dx: y=cos(x) → −ln|cos(x)|+C
🔢 Integrace racionálních funkcí
Racionální funkce p(x)/q(x), kde q má stupeň ≤ 2. Postup:
- Pokud stupeň p ≥ stupeň q: podělíme (polynomické dělení), získáme s(x) + r(x)/q(x) kde deg(r) < deg(q).
- deg(q)=1: ∫b/(x−a) dx = b·ln|x−a| + C
- q má dvojnásobný kořen: ∫(bx+c)/(x−a)² dx → b·ln|x−a| − (ab+c)/(x−a) + C
- q má 2 různé reálné kořeny (D>0): Rozklad na parciální zlomky: (ax+b)/((x−c)(x−d)) = A/(x−c) + B/(x−d). Metoda: vynásobíme (x−c) a dosadíme x=c pro A, podobně pro B.
- q má záporný diskriminant (D<0): Doplnění na čtverec → vede na arctan. Ev. čitatel upravíme na derivaci jmenovatele.
Pro (αx+β)/((x−a)(x−b)) = A/(x−a) + B/(x−b): A = (αa+β)/(a−b), B = (αb+β)/(b−a). „Zakryjeme" (x−a) a dosadíme x=a.
📏 Riemannův určitý integrál – konstrukce
Geometrický smysl: Riemannův integrál = „obsah" plochy mezi grafem funkce a osou x, ale se znaménkem (záporná plocha pod osou x se odečítá).
Pokud f je spojitá na [a,b], pak Riemannův integrál existuje. Navíc pro libovolnou normální posloupnost dělení (ν(σₙ)→0) platí: ∫ₐᵇf = lim J(σₙ,f).
Dirichletova funkce (příklad neintegrabilní): f(x)=1 pro x∈ℚ, f(x)=0 jinak. Pro libovolné dělení: S=1, s=0 → dolní ≠ horní integrál → neexistuje Riemannův integrál.
🔗 Newtonova formule a vlastnosti integrálu
Proč platí? Lagrangeova věta o přírůstku: F(b)−F(a) = Σ F(αᵢ)Δᵢ = Σ f(αᵢ)Δᵢ = J(σ,f) → limita dává integrál.
Vlastnosti Riemannova integrálu:
- Linearita (aditivita): ∫ₐᵇ(f+g) = ∫ₐᵇf + ∫ₐᵇg; ∫ₐᵇ(c·f) = c·∫ₐᵇf
- Aditivita v mezích: ∫ₐᵇf = ∫ₐᶜf + ∫ᶜᵇf pro libovolné c∈(a,b)
- Nerovnosti: f≤g na [a,b] ⟹ ∫ₐᵇf ≤ ∫ₐᵇg
- Konvence: ∫ₐᵃf = 0; ∫ₐᵇf = −∫ᵦₐf pro a>b
Per partes: ∫ₐᵇ f·g dx = [f·G]ₐᵇ − ∫ₐᵇ f'·G dx.
Substituce: ∫ₐᵇ f(ϕ(t))·ϕ'(t)dt = ∫_{ϕ(α)}^{ϕ(β)} f(x)dx. Pozor: mění se meze!
Symetrie: Sudá f na [−a,a]: ∫_{−a}^{a}f = 2∫₀ᵃf. Lichá f na [−a,a]: ∫_{−a}^{a}f = 0.
♾️ Zobecněný Riemannův integrál
- ∫₁^∞ 1/x² dx = lim_{c→∞}[−1/x]₁ᶜ = 0−(−1) = 1 (konverguje)
- ∫₀¹ 1/√x dx = lim_{c→0⁺}[2√x]ᶜ¹ = 2−0 = 2 (konverguje)
- ∫_{−∞}^{+∞} 1/(1+x²)dx = π (absolutně konvergentní)
Pokud ∫ₐᵇ|f(x)|dx konverguje, říkáme, že f má absolutně konvergentní zobecněný integrál. Absolutní konvergence ⟹ konvergence. Γ-funkce: Γ(x) = ∫₀^∞ tˣ⁻¹e⁻ᵗdt, Γ(n) = (n−1)!
Σ Číselné řady – definice a základy
Klíčový rozdíl: Posloupnost (aₙ) jsou „ingredience", řada je postupné přidávání. Příklad: aₙ = 1/2ⁿ → posloupnost (1, 1/2, 1/4,...), řada konverguje k 2.
Σ_{k=0}^∞ qᵏ = 1/(1−q) pro |q| < 1. Parciální součty: sₙ = (1−q^{n+1})/(1−q). Pro |q|≥1 diverguje. Obecně: Σ_{k=0}^∞ c·qᵏ = c/(1−q).
Pokud Σaₖ = Sₐ a Σbₖ = Sᵦ, pak Σ(aₖ+bₖ) = Sₐ+Sᵦ a Σ(c·aₖ) = c·Sₐ. Konvergence nutně musí být u obou (nelze sčítat dvě divergentní řady a dostat konvergentní).
🔍 Kritéria konvergence číselných řad
lim aₖ = 0 ještě neznamená, že Σaₖ konverguje! Harmonická řada Σ1/k diverguje, přestože 1/k→0.
| Kritérium | Podmínka | Závěr | Kdy použít |
|---|---|---|---|
| Nutná podmínka | lim aₖ ≠ 0 nebo neexistuje | Diverguje | Vždy jako první krok |
| D'Alembertovo | lim |a_{k+1}/aₖ| < 1 (resp. >1) | Konverguje (resp. diverguje) | Faktoriály, exponenciály |
| Srovnávací (a) | 0 ≤ |aₖ| ≤ bₖ a Σbₖ konverguje | Σaₖ abs. konverguje | Porovnání s géom./harm. řadou |
| Srovnávací (b) | 0 ≤ aₖ ≤ bₖ a Σaₖ diverguje | Σbₖ diverguje | Dolní odhad |
| Leibnizovo | Σ(−1)ᵏaₖ, (aₖ) monotónní → 0 | Konverguje | Střídavá znaménka |
| Integrální | f spojitá, monotónní, f(n)=aₙ | ∫ konverguje ↔ Σ konverguje | Σ 1/kᵅ, Σ 1/(k·ln k) |
aₖ > 0 pro vše k. Pokud L = lim_{k→∞} a_{k+1}/aₖ:
- L < 1: Σaₖ konverguje (srovnání s geom. řadou)
- L > 1: Σaₖ diverguje (aₖ→∞)
- L = 1: Kritérium nerozhodne (platí pro Σ1/k i Σ1/k²)
Příklad: Σ k¹⁰⁰⁰/2ᵏ: L = lim (k+1)¹⁰⁰⁰/k¹⁰⁰⁰ · 1/2 = 1·1/2 = 1/2 < 1 → konverguje.
Potřebujeme: (1) (aₖ) je monotónní (klesající nebo rostoucí) a (2) lim aₖ = 0 a (3) (aₖ) je kladná (resp. záporná) posloupnost. Monotonii nelze vynechat!
📈 Asymptotické odhady – integrální kritérium
Geometrický smysl: Σaₖ je součet obdélníků výšky aₖ a šířky 1. Porovnáváme je s plochou pod grafem f.
Řada Σₖ₌₁^∞ kᵅ konverguje pro α < −1, diverguje pro α ≥ −1. Speciálně Σ1/k (harmonická) diverguje, Σ1/k² konverguje.
Z integrálního kritéria pro f(x)=1/x (klesající): 1/n + ln(n) ≤ Σₖ₌₁ⁿ 1/k ≤ 1 + ln(n). Tedy Σ₁ⁿ 1/k ~ ln(n). Přesněji: Σₖ₌₁ⁿ 1/k − ln(n) → γ ≈ 0.5772 (Eulerova–Mascheroniova konstanta).
Z integrálního odhadu ln(n!) = Σln(k): n·ln(n)−n+1 ≤ ln(n!) ≤ ln(n)+n·ln(n)−n+1. Tedy e·nⁿ/eⁿ ≤ n! ≤ en·nⁿ/eⁿ. Stirlingův vzorec: n! ~ √(2πn)·(n/e)ⁿ.
📋 Shrnutí okruhu 1
- Primitivní funkce je antiderivace; neurčitý integrál = množina všech primitivních funkcí (F(x)+C).
- Per partes: ∫fg = fG − ∫f'G; substituce: ∫f(ϕ(t))ϕ'(t)dt = F(ϕ(t))+C; Newtonova formule: ∫ₐᵇf = F(b)−F(a).
- Riemannův integrál = shoda dolního a horního integrálu; geometricky = plocha se znaménkem.
- Nutná podmínka konvergence řady: aₙ→0; D'Alembertovo, Leibnizovo, srovnávací, integrální kritérium.
- Integrálním kritériem: Σ1/kᵅ konverguje pro α<−1; harmonická Σ1/k ~ ln(n) → diverguje.
❓ Kontrolní otázky ke státnicím
Neurčitý integrál je množina všech primitivních funkcí k dané funkci (F(x)+C), kdežto Riemannův určitý integrál je konkrétní reálné číslo – obsah plochy pod grafem se znaménkem. Propojuje je Newtonova formule: ∫ₐᵇf = F(b)−F(a).
Pokud Σaₖ konverguje, pak aₖ→0. Nestačí, protože pro harmonickou řadu Σ1/k platí 1/k→0, ale řada diverguje (sn ~ ln(n) → ∞). Podmínka říká „musí být splněna", nikoliv „je dostačující".
Když L = lim a_{k+1}/aₖ = 1. Pak použijeme jiné kritérium: integrální, srovnávací, nebo přímo ukážeme konvergenci/divergenci částečných součtů.
Z věty o odhadu: 1/n + ln(n) ≤ sₙ ≤ 1 + ln(n). Tedy sₙ ~ ln(n), konkrétně sₙ/ln(n) → 1 pro n→∞.
Rozdělíme [a,b] dělením σ. Dolní součet s(σ,f) = Σ Δᵢ·inf f, horní S(σ,f) = Σ Δᵢ·sup f. Dolní integrál = sup všech dolních součtů, horní = inf všech horních. Pokud se rovnají, existuje Riemannův integrál. Pro spojitou funkci vždy existuje.
Funkce více proměnných – diferenciální počet
Limita a spojitost funkcí více proměnných, parciální derivace, gradient, Hesseova matice, kvadratické formy a definitnost, analytická metoda hledání lokálních extrémů.
🗺️ Prostory ℝⁿ – okolí, vzdálenost, hromadné body
Schwarzova nerovnost: |⟨x|y⟩| ≤ ‖x‖·‖y‖ (rovnost jen pro lineárně závislé vektory). Trojúhelníková nerovnost: ‖x+y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖.
→ Limita funkcí více proměnných
Klíčový poznatek: Limita vektorové funkce existuje ↔ existují limity všech složek. Limita vektorové posloupnosti existuje ↔ existují limity všech složek (lze redukovat na jednorozměrný případ).
Na rozdíl od ℝ¹, k bodu v ℝⁿ lze přistupovat z nekonečně mnoha směrů. Aby limita existovala, musí být ve všech směrech stejná. Standardní trik na vyvrácení: ukázat dvě posloupnosti xₙ, yₙ → a takové, že F(xₙ) → b₁ ≠ b₂ ← F(yₙ).
Příklad: f(x,y)=xy/(x²+y²) pro (x,y)→(0,0): podél y=0 limit=0, podél y=x limit=1/2. Tedy limita neexistuje.
Platí analogie s BI-MA1: lim(F+G) = lim F + lim G; lim(αF) = α·lim F; lim(f·g) = lim f · lim g; lim(f/g) = lim f / lim g pokud lim g ≠ 0.
∞ Spojitost funkcí více proměnných
Zachování spojitosti: Součet, součin, podíl (pokud jmenovatel ≠ 0), složení spojitých funkcí – vše dává spojitou funkci. Elementární funkce jedné proměnné f(x_k) jsou spojité (fungují po složkách).
Příklady spojitých funkcí:
- f(x,y) = sin(x)+cos(y) na ℝ²
- f(x,y) = ln(xy) pro xy>0
- g(x,y) = xy²+x+y² na (ℝ∖{0})×ℝ
∂ Parciální derivace
Smysl: Parciální derivace udává, jak rychle roste f v bodě a, pokud se pohybujeme pouze ve směru j-té osy (všechny ostatní proměnné jsou konstantní). Geometricky: sklon tečny „řezu" grafu funkcí rovinou rovnoběžnou s osami (xⱼ, z).
Výpočet: Derivujeme podle xⱼ a všechny ostatní proměnné považujeme za konstanty – platí všechna pravidla z BI-MA1.
- f(x,y) = x + xy + y: ∂f/∂x = 1+y, ∂f/∂y = x+1
- f(x,y) = x³+x·y₂: ∂f/∂x = 3x²+y₂, ∂f/∂y = x (∂f/∂y₂ = x)
- g(x,y,z) = eʸ·sin(x+y)+zy: ∂g/∂y = eʸsin(x+y)+eʸcos(x+y)+z
Funkce může mít parciální derivace v bodě, ale přesto tam nebýt diferencovatelná (nemít derivaci ve smyslu lineární aproximace). K existenci derivace DF(a) stačí např. spojitost všech prvních parciálních derivací na okolí a.
∇ Gradient a derivace (Jacobiho matice)
Proč řádkový vektor? Derivace F:ℝⁿ→ℝᵐ je matice m×n. Pro m=1 (reálná funkce) je to matice 1×n = řádkový vektor, tedy gradient.
Derivace ve směru v (‖v‖=1): ∂f/∂v(a) = ⟨∇f(a)ᵀ | v⟩. Gradient ukazuje směr, ve kterém f roste nejrychleji. Záporný gradient ukazuje směr nejprudšího poklesu. Platí: |∂f/∂v(a)| ≤ ‖∇f(a)‖ (Schwarzova nerovnost).
Pokud f : D_f → ℝ má derivaci v bodě a, tečná rovina ke grafu z = f(x) v bodě (a, f(a)) je: z = f(a) + ∇f(a)·(x−a). Pro f(x,y): z = f(a) + ∂f/∂x(a)·(x−a₁) + ∂f/∂y(a)·(y−a₂).
D(F∘G)(a) = DF(G(a))·DG(a). Po složkách: ∂(F∘G)ᵢ/∂x_ℓ(a) = Σⱼ ∂Fᵢ/∂xⱼ(G(a))·∂Gⱼ/∂x_ℓ(a).
H Hesseova matice
Analogie s 1D: Pro f : ℝ→ℝ je Hesseova matice 1×1 matice (f''(a)). Hesseova matice je zobecněním druhé derivace pro funkce více proměnných.
Proč je důležitá? Hesseova matice popisuje „lokální zakřivení" grafu funkce. Použijeme ji pro identifikaci extrémů.
- f(x,y) = x²+y²: ∇²f = [[2,0],[0,2]] – PD → minimum
- f(x,y) = x²−y²: ∇²f = [[2,0],[0,−2]] – ID → sedlový bod
- f(x,y) = x⁴+y⁴: ∇²f(0,0) = [[0,0],[0,0]] – PSD (nestačí)
🟦 Kvadratické formy a definitnost
| Typ | Definice | Vlastní čísla M |
|---|---|---|
| PD (pozitivně definitní) | q(x) > 0 pro x≠0 | Všechna kladná |
| PSD (pozitivně semidefinitní) | q(x) ≥ 0 pro všechna x | Všechna nezáporná |
| ID (indefinitní) | ∃x: q(x)>0 a ∃y: q(y)<0 | Kladné i záporné |
| NSD (negativně semidefinitní) | q(x) ≤ 0 pro všechna x | Všechna nekladná |
| ND (negativně definitní) | q(x) < 0 pro x≠0 | Všechna záporná |
Pozor na terminologii: V tomto kurzu PD ⊂ PSD (každá PD je i PSD). Nulová forma je PSD i NSD zároveň. ID jsou formy, které nejsou ani PSD, ani NSD.
- q(x,y) = x²+2xy+2y² = (x+y)²+y² → PD (2 kladné čtverce, 2 proměnné)
- q(x,y) = x²+4xy+y² = (x+2y)²−3y² → ID (jeden +, jeden −)
- q(x,y) = x²+y² → PD (Sylvester: det([1])=1>0, det([[1,0],[0,1]])=1>0)
- q(x,y) = xy → ID (q(1,1)=1, q(1,−1)=−1)
Pokud M má na diagonále prvky s různými znaménky, je q ID. Ale to je pouze postačující podmínka – q(x,y) = x²+4xy+y² je ID, přestože má na diagonále jen kladná čísla!
Sylvesterovo kritérium platí přesně jen pro PD a ND. Pokud det(Mₖ) ≥ 0 pro všechna k, forma nemusí být PSD. Příklad: M = [[1,0,2],[0,0,0],[2,0,1]] – všechna hlavní minora ≥ 0, ale forma je ID.
⛰️ Lokální extrémy funkcí více proměnných
Analytická metoda hledání extrémů – 3 kroky:
- Najdi stacionární body: Řeš soustavu ∇f(a) = θᵀ, tj. ∂f/∂x₁(a) = 0, ..., ∂f/∂xₙ(a) = 0.
- Spočítej Hesseovu matici ∇²f(a) v každém stacionárním bodě.
- Urči typ extrému podle definitnosti ∇²f(a): PD → ostré lokální min., ND → ostré lokální max., ID → sedlový bod (extrém nenastává), PSD nebo NSD → nelze rozhodnout, nutno zkoumat jinak.
Pokud f má v bodě a lokální extrém a existuje ∇f(a), pak ∇f(a) = θᵀ. (Jinak: pokud gradientem nezdrojujeme, extrém tam není.) Z BI-MA1: parciální derivace podle každé proměnné je 0 nebo neexistuje.
Pokud f má v bodě a lokální minimum, pak ∇²f(a) je PSD (tj. q(x) = xᵀ∇²f(a)x ≥ 0 pro všechna x). Analogicky pro maximum: NSD. Opět pouze nutná podmínka!
Nechť ∇f(a) = θᵀ (stacionární bod). Pak: ∇²f(a) je PD ⟹ ostré lokální minimum. ∇²f(a) je ND ⟹ ostré lokální maximum. ∇²f(a) je ID ⟹ sedlový bod (bez extrému). Pokud ∇²f(a) je PSD nebo NSD → nelze rozhodnout, musíme zkoumat z definice.
- Z nulového gradientu NELZE usoudit na extrém (nutná, ne postačující).
- Z PSD (nebo NSD) Hesseovy matice NELZE usoudit na neostrý extrém. Příklad: f(x,y) = x²+y³ má v (0,0) nulový gradient a PSD Hesseovu matici, ale extrém NEMÁ (f(0,y)=y³ mění znaménko).
- Z PD Hesseovy matice PLYNE ostré lokální minimum (postačující podmínka).
📝 Schéma řešení příkladu na extrémy
Zadání: f(x,y) = x⁴+y⁴−x²−2xy−y²
- Gradient: ∇f(x,y) = (4x³−2x−2y, 4y³−2x−2y). Nutná podmínka: 4x³−2x−2y=0 a 4y³−2x−2y=0. Odečtením: 4(x³−y³)=0 → x=y. Dosazením: x(x²−1)=0 → stacionární body: a=(−1,−1)ᵀ, b=(0,0)ᵀ, c=(1,1)ᵀ.
- Hesseova matice: ∇²f(x,y) = [[12x²−2, −2],[−2, 12y²−2]]. V a a c: [[10,−2],[−2,10]] – Sylvester: det([10])=10>0, det([[10,−2],[−2,10]])=96>0 → PD → ostré lokální minimum v a a c. V b: [[−2,−2],[−2,−2]] – Sylvester: det([−2])=−2<0 → ne PD. Úprava: −2(x+y)² → PSD (ale ne PD).
- Bod b=(0,0): Hesseova matice je PSD → nelze rozhodnout postačující podmínkou. Zkoumáme z definice: f(t,−t)=2t⁴>0 pro t≠0, f(t,0)=t⁴−t²<0 pro t∈(−1,1)∖{0} → extrém v b nenastává, b je sedlový bod.
Pro data {(xᵢ,yᵢ)} proložit křivkou fc = Σcⱼfⱼ: minimalizujeme F(c) = ‖y−Ac‖². Gradient: ∇F = −2Aᵀy + 2AᵀAc = 0 → c = (AᵀA)⁻¹Aᵀy. Hesseova matice F je 2AᵀA, která je PD (pokud A má plnou hodnost). Tedy nalezený bod je ostré lokální (i globální) minimum.
📋 Shrnutí okruhu 2
- Limita vektorové funkce: pro existenci musí být limita stejná ze všech směrů; redukuje se na limity složek.
- Parciální derivace: derivace f podle xⱼ při konstantních ostatních; Gradient ∇f = řádkový vektor parciálních derivací = Jacobiho matice pro reálnou f.
- Hesseova matice: symetrická matice druhých parciálních derivací; analog druhé derivace; je symetrická, pokud jsou druhé par. derivace spojité.
- Kvadratické formy: q(x) = xᵀMx; typ definitnosti čteme z vlastních čísel nebo Sylvesterovým kritériem nebo úpravou na čtverce.
- Extrémy: stacionární body (gradient=0), Hesseova matice PD/ND → ostré min/max, ID → sedlo, PSD/NSD → třeba zkoumat z definice.
❓ Kontrolní otázky ke státnicím
Parciální derivace ∂f/∂xⱼ sleduje změnu f jen ve směru j-té osy (ostatní proměnné fixní). Jacobiho matice (derivace) DF(a) je matice všech parciálních derivací a popisuje nejlepší lineární aproximaci zobrazení v bodě a ze všech směrů. Existence parciálních derivací nezaručuje existenci DF(a), ale spojitost parciálních derivací ji zaručuje.
Pro f:ℝⁿ→ℝ je Jacobiho matice (derivace) matice rozměru 1×n, tedy řádkový vektor. Derivace ve směru v je pak skalární součin: ∂f/∂v(a) = ∇f(a)·v = ⟨∇f(a)ᵀ|v⟩. Gradient ukazuje směr největšího růstu.
PD: det(Mₖ) > 0 pro k=1,...,n. ND: (−1)ᵏdet(Mₖ) > 0 pro k=1,...,n. Sylvester neřeší PSD ani NSD (nahrazení > 0 za ≥ 0 nefunguje – existuje protipříklad). Pro PSD a NSD je třeba obecné Sylvesterovo kritérium nebo úprava na čtverce.
Když Hesseova matice ve stacionárním bodě je PSD nebo NSD (ale ne PD resp. ND). Pak musíme zkoumat přímo z definice extrému – hledat body v okolí kde f(x) > f(a) nebo f(x) < f(a). Příklady: f=x⁴+y⁴ má v θ PSD Hesseovu matici a přesto ostré min.; f=x²+y³ má v θ PSD Hesseovu matici, ale extrém NEMÁ.
Příklad: f(x,y) = xy(x²−y²)/(x²+y²) pro (x,y)≠θ, f(θ)=0. V bodě θ existují obě smíšené derivace, ale ∂²f/∂y∂x(θ) = −1 ≠ 1 = ∂²f/∂x∂y(θ). Záměna je garantována Schwarzovou–Clairautovou větou pouze tehdy, jsou-li druhé parciální derivace spojité na okolí bodu.
1) Derivujeme: najdeme ∇f(x) = (∂f/∂x₁, ..., ∂f/∂xₙ). 2) Stacionární body: řešíme ∇f(a) = 0 (soustava rovnic). 3) Hesseova matice: spočteme ∇²f(a) = matice [[∂²f/∂xᵢ∂xⱼ]]. 4) Definitnost: Sylvestrovo kritérium nebo úprava na čtverce. 5) Závěr: PD → ostré min., ND → ostré max., ID → sedlo, PSD/NSD → vrátíme se k definici.